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De nition 2.6. Sei f: I= (a;b) !R stetig und es existiere ein x 0 2I, sodass fauf (a;x 0) konvex und auf (x 0;b) konkav ist, oder auf (a;x o) konkav und auf (x 0;b) konvex. Dann hat fan der Stelle x 0 einen Wendepunkt . Beispiel 2.7. Die unktionF f(x) = x3 ist streng konkav auf R und streng konvex auf R +. Nach De nition 2.6 hat fin x 0 = 0 einen Wendepunkt. Satz 2.8.

Eine Funktion ϕ: (a,b) → R heißt konvex, wenn ϕ((1−λ)x+λy) ≤ (1−λ)ϕ(x)+λϕ(y) fur¨ alle x,y ∈ (a,b) und 0 ≤ λ ≤ 1 . Bemerkung. Ist ϕ: (a,b) → R konvex, dann ist ϕ stetig auf (a,b) . Beweis.

Eine Funktion f: I!Rist (streng) konvex, wenn f ur alle o enen Teil-intervalle (a;b) ˆIund t2(0;1) stets gilt: f((1 t)a+ tb) 6 (<) (1 t)f(a) + tf(b). Bemerkung 2.4.9 (Komposition konvexer Funkt.) Gegeben seien Intervalle I, Jund Funktionen I!f J!g R 1. Wenn f(streng) konvex und gkonvex und (streng ) monoton wachsend ist, dann ist g f(streng) konvex. 2. De nition 2.6.

• Satz: Eine konvexe Funktion Fist stetig auf suppF. • Die Funktion χA(x) = 0 f¨ur x∈ Aund +∞ sonst heißt charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Konvexit¨atstheorie. • Beispiele f¨ur konvexe Funktionen: – Die konstante Funktion F(x) ≡ c – Die Norm F(x) = kxk ist konvex, wenn Xein normierter Raum ist. Die

R x 0 f(t)dt konvex. 2. Gilt die obige Folgerung auch f ur die Funktion x 7!1 x R x 0 f(t)dt? Wie muss die Bedin-gung an f gegebenenfalls modi ziert werden?

Konvex Funktion. Konvexe und konkave Funktionen – Wikipedia. Konvexität von f, f auch auf [a,b] stetig | Mathelounge. Suggestions. Bergvärme torrt borrhål;

23.1 Konvexe Funktionen Sei Iein Intervall. Eine Funktion f Konvexe funktionen stetig; Konvexe funktion nicht stetig; Konvexe funktion ist stetig; Sind konvexe funktionen stetig 2014-11-03 6.1 Konvexe Optimierung – Konvexe Funktionen (6.1) Sei D ⊂Rn konvex. a) Eine Funktion f :D →R heißt konvex, wenn für alle x,y ∈D, t ∈[0,1] gilt f D −→R konvex. Dann ist f stetig. (6.7) Sei M 6= 0/, M abgeschlossen, und sei f gleichmäßig konvex.

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f heiˇt strikt konvex, wenn sogar f( x+ y) < f(x) + f(y) (4.2) f ur x6= yund 0 < ; <1; + = 1; x;y2Kerf ullt ist. Se hela listan på ingenieurkurse.de über konvexe Funktionen in den ersten zwei Kapiteln, wird den Begriff auch im dritten Kapitel angewandt. In diesem Kapitel werden einige wichtige Ungleichungen bewiesen, einige Eigenschaften der konvexen Funktionen in der Optimierung diskutiert und es wird bewiesen, dass die Spiegel, die Konvexe und konkave Funktionen einer VariablenAlle Angaben ohne Gewähr.

Für jeden inneren Punkt x von I ist dann die Funktion stetig.
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Konvexe Funktionen , die auf einer konvexen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sind, sind stetig in den inneren Punkten. Um das zu sehen, betrachte man einen inneren Punkt .

Se hela listan på ingenieurkurse.de über konvexe Funktionen in den ersten zwei Kapiteln, wird den Begriff auch im dritten Kapitel angewandt. In diesem Kapitel werden einige wichtige Ungleichungen bewiesen, einige Eigenschaften der konvexen Funktionen in der Optimierung diskutiert und es wird bewiesen, dass die Spiegel, die 4 Konvexe Funktionen 4.1 De nition: (strikt) konvex Eine auf einer konvexen Menge Kdes Rnde nierte Funktion f: K!R heiˇt konvex, wenn f( x+ y) f(x) + f(y) (4.1) f ur beliebige ; 2[0;1] mit + = 1 und f ur alle x;y2Kgilt.

Im unendlichdimensionalen Fall brauchen konvexe Funktionen nicht stetig zu sein, da es lineare (also somit auch konvexe) Funktionale gibt, die nicht stetig sind. Allerdings gilt, dass beschränkte konvexe Funktionale eines normierten Vektorraums stetig sind.

Die unktionF f(x) = x3 ist streng konkav auf R und streng konvex auf R +. Nach De nition 2.6 hat fin x 0 = 0 einen Wendepunkt.

Funktion in einem Punkt eines topologischen linearen Raumes stetig, dann ist sie in dem ganzen Raum stetig; ist eine konvexe Funktion Nicht jede konvexe Menge ist ein konvexer Kegel, zum Beispiel sind Kreise keine konvexen Kegel. ist jede konvexe Funktion f : Ω → R stetig in int(Ω). Beweis: Auf einem Intervall definierte strikt konvexe Funktion Die Aussage, dass eine konvexe beschränkte Funktion stetig in den inneren Punkten ist, ist auch Konkave Funktion; Konvexe Funktion; Konvexität und Konkavität im Intervall Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konkav, wenn für alle x \in Folglich ist f in x0 und damit auch in Ω stetig. 5.8 Bemerkung. Auf einer nichtoffenen konvexen Menge K kann eine konvexe Funktion f : K → R unstetig sein. weise ist eine konvexe Funktion auf einem offenen Definitionsbereich stets stetig, überall richtungsdifferenzierbar und fast überall differenzierbar.